微积分基本定理(高中学不学微积分基本定理)

微积分的基本定理被恰当地命名，因为它在微积分的两个分支之间建立了联系:微分学和积分学。微分学起源于切线问题，而积分学起源于一个看似不相关的问题，面积问题。牛顿在伊萨克·巴罗剑桥的导师(1630-1677年)发现这两个问题实际上密切相关。事实上，他意识到分化和整合是相反的过程。微积分的基本定理给出了导数和积分之间精确的反关系。正是牛顿和莱布尼茨利用了这种关系，并利用它将微积分发展成一种系统的数学方法。特别是，他们看到微积分的基本定理使他们能够非常容易地计算面积和积分，而不必将它们作为和的极限来计算。

正切的，相切的【例】正切的；正切

和的极限:极限的和，除法→求和→求极限。

函数定理的第一部分涉及由以下形式的方程定义的函数

其中F是[a，b]上的连续函数，x在a和b之间变化。注意，F仅取决于x，它在积分中显示为变量上限。如果x是一个定数，那么积分A(x)就是一个定数。如果我们让x变化，数A(x)也变化，并定义一个x的函数，用A(x)表示

对于一个连续函数y = f(x)其图形绘制为曲线，x的每一个值都有一个对应的面积函数A(x)，表示0和x之间曲线下的面积，函数A(x)可能不知道，但已知它表示曲线下的面积。

请看下图:

红色条纹阴影区域可以估计为h乘以f(x)。或者，如果已知函数A(x ),则可以精确计算为A(x+h)A(x)。这两个值大致相等，特别是对于小h。

x和x + h之间的曲线下面积可以通过计算0和x + h之间的面积，然后减去0和x之间的面积来计算，换句话说，这个“条带”的面积就是A(x+h)-A(x)。

还有另一种方法来估算同一条带的面积。如附图所示，将h乘以f(x)得到一个与这个长条大小近似的矩形的面积。所以:

A(x+h)A(x)≈f(x)h

事实上，如果我们加上图中显示的“超出”区域的红色部分，这个估计就变成了一个完美的等式。所以:

A(x+h)A(x)≈f(x)h+(红色过量)

重新排列术语:

当h在极限中接近0时，最后一个分数可以显示为趋向于0。这是因为多余区域的红色部分的面积小于或等于微小的黑边矩形的面积。更准确地说，

由于f的连续性，后一个表达式和h一样趋向于零。因此，左手边和h一样趋向于零，这意味着

这意味着f(x)= A′(x)。即面积函数A(x)的导数存在，是原函数f(x)；所以，面积函数只是原函数的反导数。计算函数的导数和“求其曲线下的面积”是“相反”的运算。这是微积分基本定理的症结所在。

症结[krks]症结；十字座；关键；难题

物理直觉:

直观地说，该定理简单地说明了一个量随时间(或某个其他变量)的微小变化之和等于该量的净变化。

想象一下，当一辆汽车在高速公路上行驶时，用秒表来标记微小的时间增量。想象一下，当汽车行驶时，你看着它的速度表，这样你随时都知道汽车的速度。为了理解这个定理的力量，想象一下你不被允许向车窗外看，所以你没有车行驶了多远的直接证据。

对于车内的任何一小段时间，你都可以计算出在这段时间内车行驶了多远，方法是将车的当前速度乘以这段时间的长度。(这是因为距离=速度×时间。)

现在想象一下，一瞬间接一瞬间地这样做，这样每隔一小段时间，你就知道汽车行驶了多远。原则上，你可以通过简单地将所有这些微小的距离相加来计算出汽车行驶的总距离(即使你从未向窗外望过)。

行进距离= ∑任意时刻的速度×微小的时间间隔

换句话说，

行驶距离= v(t) × △t

在这个等式的右边，随着△t变得无穷小,“求和”运算对应于积分。我们已经展示了，速度函数的积分可以用来计算汽车行驶了多远。

现在记住，速度函数只是位置函数的导数。所以我们真正展示的是，对速度进行积分，简单地恢复了原始的位置函数。这是该定理的基本思想:积分和微分是密切相关的运算，本质上是彼此的逆运算。

换句话说，就一个人的物理直觉而言，该定理简单地陈述了一个量随时间的变化的总和(例如位置，通过速度乘以时间来计算)加起来就是该量的总净变化。或者更概括地说:

给定一个随变量t变化的量x，和

给定该量在该变量上变化的速度v(t)

那么“距离等于速度乘以时间”的观点就符合这种说法

dx = v(t)dt

这意味着我们可以通过对速度v(t)的导数在t上积分来恢复原始函数x(t)。

推论

这个基本定理经常被用来计算一个函数F的定积分，这个函数F的反导数是已知的。具体地说，如果F是[a，b]上的实值连续函数，并且F是[a，b]中F的反导数，则

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