矩形的定义(矩形的定义和性质和判定)

作为矩形的一种特殊平行四边形，它不仅具有一般平行四边形的性质，还因其角和对角线的特殊性而具有特殊性质。在学习矩形的性质时，学生应掌握以下四点。

首先，了解矩形的定义。

定义:一个角是直角，四个平行边是长方形。

这个定义里有两个关键词:直角和平行四边形。

包括两层意思:一个是平行四边形+一个是直角矩形。第二，矩形是特殊的平行四边形，一个角是90°。

矩形的定义不仅解释了什么是矩形，也是判断四边形是否为矩形的一种方法。

1.将矩形ABCD沿对角线BD对折，C点落在E点，BE和AD相交于f点，若∠ BDC = 62，则∠DFE的度数为()

答，31 B，28 C，62 D，56

解析:解决这个问题有两个关键词:①长方形，有一个90°的角和平行线。②折叠，图中有重合角，即等角。

然后在图中标出先后得到的角度来求解。

∴∠DFE今年56岁

二、掌握矩形的性质，并能利用矩形的性质解题。

1.边:对边平行且相等(与平行四边形相同)

2.角:四个角都是直角(不同于平行四边形)

3.对角线:相等和等分(平行四边形只是等分)。两条对角线把矩形分成四个等腰三角形。

例1(中考，荆门)如图所示，在长方形ABCD中，(ad >: AB)，e点是BC上面的点，DE=DA，af?DE，垂足是f点.下列结论中，不一定正确的是()

a△AFD?△DCE，B，AF=1/2AD

c，AB=AF，D，BE=AD-DF

解法:∵四边形ABCD是矩形。

∴DA//BC,∠C=90

∴∠ADF=∠DEC

∫AF丄特拉华州

∴∠AFD=90

∴∠AFD=∠C，∫∠ADF =∠dec，DE=DA

∴△AFD≌△DCE

a正确，C和D都正确。

b不一定正确。因为当AF=1/2AD，∠ADF应该等于30，在题中给出的已知条件找不到度的时候。

2.如图，E和F分别是矩形ABCD的对角线。

而AC BD上的点，且AE=DF，证明be = cf。

解析:①当图中有对角线时，认为矩形的对角线相等，平分。②证明线段相等最常用的方法是证明两条线段所在的两个三角形全等。

证明了∵四边形ABCD是矩形。

∴OB=OC=OA=OD

AE = DF

∴OE=OF

在△BOE和△COF

OE=OF，∠BOE=∠COF，OB=OC

∴△BOE≌△COF

∴BE=CF

3.掌握直角三角形斜边上中线的性质定理，并能利用该定理求线段的长度。

直角三角形斜边上中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

这个定理的基础:根据矩形的对角线相等且相等的事实，沿对角线切掉一半矩形后，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

如图:O是Rt△ABC斜边AC的中点，那么斜边上的中线ob等于1/2ac。

1.(黄石，2019)如图所示，在△ABC中，∠ B = 50，CD? AB在d点，∠BCD和∠BDC的平分线相交于e点，f为边AC的中点，CD=CF

那么∠ACD+∠CED=()

答，125 B，145 C，175 D，190

解析:①在阅读已知条件时，在图中标出可以直接找到的角度，就可以得到∠ CED = 115。

②题中△ADC为直角三角形，F为斜边AC的中点，若与DF相连，可得DF=CF=CD。

因此∠ ACD = 60，

所以∠ ACD+∠ CED = 60+115 = 175。

2.(中考，绵阳)如图所示，平行四边形ABCD的周长为26cm，对角线AC和BD相交于O点，

Ac?ab，e是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，所以AE的长度是()

a，3厘米B，4厘米C，5厘米D，8厘米

解析:平行四边形ABCD的周长是26cm。

可得AD+AB=13cm，OB=OD。

△AOD的周长比△AOB的周长多3厘米。

得到(OA+AD+OD)-(OA+AB+OB) = 3

即ad-ab = 3，又因为AD+AB=13解方程，所以可得AD=BC=8cm，AB=5cm。

因为E是Rt△ABC斜边的中点，所以

AE = 1/2BC = 1/2×8 = 4厘米.

第四，矩形性质在实际中的应用。

因为矩形中有直角，所以常结合勾股定理求线段的长度。

例:如图:沿直线AE折叠矩形ABCD，顶点D刚好落在BC边上的F点。已知CE = 3厘米，

AB=8cm，求图中阴影部分的面积。

解析:①先标出已知线段、可直接计算的线段和图中相等的线段。

②阴影面积需要BF长，设BF为xcm，则AF=AD=BC=(x+4)cm，可以用勾股定理求解。

解法:∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC,AB=DC,∠B=∠C=90

AB = 8cm，CE=3Cm .

从问题的意思可以得出DE=EF=5cm，AD=BC=AF。

在Rt△ECF，EF=5，EC=3

∴fc=√(ef-欧共体)=√(5 -3 )=4

设BF长度为xcm，AF长度为(x+4)cm

在Rt△ABF中，AB=8，BF=x，则AF=x+4

勾股定理中的AB+BF = AF

也就是8+x = (x+4)

得到x=6。

所以阴影面积= (8× 6+3× 4) ÷ 2 = 30cm。

答:阴影部分为30cm。