什么是素数(什么叫质数,什么叫合数)

质数又称素数，是指大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除，如:2，3，5，7，11...，通常用“p”表示。

质数的分布规律从欧几里德开始就是一个谜。今天，我们来认识一下素数的重要分布规律——素数定理。这是已经发现并证明的限制素数分布的最重要定理之一。

欧几里得

大约在公元前300年，欧几里德漂亮地证明了素数有无数个，人们开始寻找素数公式。

大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的信中写道:“在我们的有生之年，可能找不到计算素数的公式。但是，我还是想用一个公式来表示，但是我不能表示所有的质数。n ^ 2-n+41，n等于1到40”。

欧拉给出的多项式在n=41时失效。后来哥德巴赫在给欧拉的信中提到:“一个整系数多项式不可能得到所有整数的素数，但有些多项式可以得到很多素数。”

后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫猜想。欧拉对数论贡献很大。数论四大定理之一是欧拉定理，欧拉素数乘积公式是开启黎曼猜想的金钥匙。

欧拉和欧拉乘积公式

直到欧拉之后的高斯，素数的研究才取得进展。大约在1792年，15岁的高斯发现自然数中素数的分布密度接近于一个类似对数积分的函数。

与此同时，数学家A.M .勒让德也提出了一个等价猜想，但他们无法证明。到目前为止，这个问题已经成为数学界的顶级难题，甚至在数学界流传:谁要是证明了这个猜想，谁就能获得永生。

为我作证的人将获得永生！

直到一百多年后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达玛(Adama)和德拉·瓦莱布桑(de la Vallebusan)独立证明。他们的证明基于黎曼的思想，其中应用了先进的整函数理论。至此，这个猜想正式升级为一个定理——素数定理(PNT)。

质数定理

值得一提的是，他们一个活了96岁，一个活了98岁。

素数定理有一个初等表达式:

素数定理的初等表达

这个定理可以得出许多有趣的结论，例如:

n是素数的概率~ 1/lnn；

第n个质数~ ~ NlnN；

这两个推论和PNT互为充要条件。

虽然我们有PNT，但PNT给出的绝对误差实在是太可怕了。比如第10000个素数是104729，而PNT给出的是92103，这是数学家无法接受的。我们想要的是一个精确的素数公式。

直到1859年，黎曼才给出π(x)的精确表达式:

素数计数函数π(x)的黎曼表达式

但这个表达式是基于一个猜想，即著名的黎曼猜想，这个猜想仍然是数学中有待解决的重要猜想。更多关于黎曼猜想的趣事，可以看我之前的文章《如果这个数学猜想被破解，世界网络将会瘫痪！——黎曼猜想”

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