数学建模优秀论文(2022数学建模论文模板范文)

没有兴趣？

来做题。

普林斯顿大学的一个网站还保留着上个世纪的页面风格。

这个不起眼的网站上只有红、蓝、紫、橙四个字，还有一串难懂的短语列表，比如“不可能定理”、“自旋玻璃态”、“费米气体”。

这是数学物理开放问题的网站，它列出了数学物理中13个最令人困惑的数学问题。

这13个问题也是普林斯顿大学物理学和数学教授迈克尔·艾泽曼在20世纪末收集的“愿望清单”。

解决这些问题中的任何一个都可能为你赢得菲尔兹奖，诺贝尔数学奖。因此，能够解决这些问题中的任何一个，对科学家来说都是至高无上的荣誉。

网站还是很少女的，并且标注了一个“解决了！”在解决的问题旁边。卡通爆炸图案。

在这些棘手的问题中，有一个问题叫做量子霍尔电导问题，困扰了数学家很多年。

虽然在物理领域很少有人听说过，但它与量子技术的实际应用密切相关。

在问题没有任何进展的时候，一个来自希腊名叫Spyridon Michalakis的新人声称已经得到了答案。

数学狂热分子

斯皮里宗·米查拉基斯出生于希腊。他从小就热爱数学，在数学方面表现出极大的天赋。

Spyridon Michalakis斯皮里宗·米恰拉基斯

1994年，哥哥在全国数学竞赛中失利，当时只有14岁的斯皮里宗拿到了试卷，只用了三天就解决了那张试卷上的问题。

以优异的成绩，他也开始了自己的事业。在获得量子信息科学博士学位后，Michalakis来到新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室开始了他的学术生涯。

一天，他和他的导师马修·海斯廷斯在一家寿司店吃午饭。

黑斯廷斯问道:“你现在想做些有趣的工作，还是先热身？”

Michalakis说他已经准备好迎接挑战了。

晚上，黑斯廷斯把普林斯顿大学复古网页的链接发给了他，说:“这些是数学物理学家迈克尔·艾泽曼(Michael Aizenman)从1998年到1999年收集的谜题。如果你能做到这些，你就会很好。”

Michalakis浏览网页，发现旁边只有一个卡通爆炸图案的问题，虽然只是部分解决。

他发现，即使这部分解决方案也分别为两位数学家获得了2006年和2010年的菲尔兹奖。

原来，黑斯廷斯想让他尝试量子霍尔电导问题，米查拉基斯以前从未听说过。

Matthew Hastings马修·海斯廷斯

但既然给了你任务，那就试试吧。毕竟就算解决了一些问题，也能获得一些荣誉啊！

什么是量子霍尔效应？

这个问题最早是在1999年提出的，和“量子霍尔效应”有关。

1879年，物理学家埃德温·霍尔(Edwin Hall)发现，当电流通过金属片时，在垂直方向施加磁场，一小部分电流会发生偏转。

经典的霍尔效应是带电粒子在磁场中运动的简单结果。

这里显示的是一个简单的实验示意图：开启一个指向z-方向的恒定磁场（B）；在x-方向上存在一个恒定的电流（I）；同时，电子只能在于（x，y）平面内。根据霍尔定律，这样的设置会在y-方向产生电压（V）。霍尔效应之所以会出现，是因为磁场会使得带电粒子绕圈圈运动。

1980年，德国物理学家克劳斯·冯·克里津通过反复实验证实了这一效应。这一次，通过金属和半导体之间薄界面的电流冷却到接近绝对零度。

在这些条件下，电流是二维的，就像超薄石墨烯材料一样，二维完全改变了它的性质。

冯·克利钦(Von Klitsyn)发现，如果缓慢增加磁场强度，偏转电流不会像预期的那样稳定增加，而是会迈出电流一步。

也就是说，电流的行为更像量子世界中的粒子，有特定的能级，但这是日常生活中可以看到的量子行为。

这一发现也为冯·克利钦赢得了1985年的诺贝尔物理学奖。

1982年，T贝尔实验室的at &研究人员对这个实验进行了改进，进一步加深了人们的兴趣。在实验中，他们使用了更强的磁场和更低的温度，发现原来的能量台阶之间有相等的新台阶。

他们给这种新现象起了一个专属的名字:分数量子霍尔效应。

量子霍尔效应有两种，即整数和分数量子霍尔效应。

这两种效应的发现都源于实验，然后发展了相关的理论基础。

整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应都表明，这些系统中的电子在某种程度上会以统一的整体方式相互作用，尽管它们通常会像乒乓球一样相互弹开。

即使物理学家在这一领域取得了如此重大的进展，电子实际上是如何做到这一点的问题仍然存在。

用数学方法解决。

Michalakis从2008年开始研究这个问题，他花了很长时间弄清楚理论研究者是如何开始研究量子霍尔效应出现的原因的。

他发现关键点出现在20世纪80年代，当时物理学家David Thouless和其他人正在研究涉及拓扑的量子霍尔效应全景。

拓扑学研究物体弯曲或拉伸时形状不变的特性。比如一个甜甜圈可以拉伸成咖啡杯的形状，但是如果你想把它变成一个球体，就必须把它撕开。

霍尔效应的背后，也有类似的情况:即使材料中有杂质，电导率也不会改变。

用数学方法描述这类东西时，会用到两个性质:一个是“属”，表示一个物体有多少个洞；二是“缠绕数”，指一个物体缠绕另一个物体的次数。

挤压一枚甜甜圈（或右侧的小饼干）会改变其几何形状，但洞的数量不变。在拓扑学中，这一性质被称为“亏格”。卷绕数描述的是一个物体环绕另一个物体的圈数，就像手指上缠绕的橡胶圈一样。

Thouless和他的合作者将量子霍尔效应中的电子视为连续的电子海，并用拓扑语言来描述。

这解释了冯·克利钦观察到的现象。就像挤压一个甜甜圈，如果你稍微改变一下电子路径，类似于半导体中杂质造成的效应，电子海的拓扑描述不会有明显的变化。

这从数学上解释了为什么即使实验不准确，这种效应也会准确发生。

结果还表明，绕组数(只能是1或2等整数)与电流电压密切相关。

平静的电子海洋

其实在Michalakis和Hastings之前，利用拓扑学研究量子霍尔效应的想法就存在了。

然而，以前的研究人员被迫做出两个假设中的一个——要么假设描述系统的数学空之间的整体图景等于局部图景，要么假设系统中的电子之间没有相互作用。

第一个数学假设被怀疑是错误的，而第二个物理假设是不现实的。

Michalakis说：“在物质的拓扑状态下，电子会失去它们的‘身份’。你会得到一个更分散、更稳定、更纠缠的系统，表现的跟单一的物体一样。在我们之前的研究人员意识到了这可以解释量子霍尔电导的整体性质，但它们却作出了放大图景与缩小图景一样的假设。”

正当他一筹莫展的时候，他突然想到，黑斯廷斯让他完成这个任务，一定是有原因的。

他开始仔细查阅黑斯廷斯的研究目录，很快就找到了解决问题的有希望的工具。

在黑斯廷斯的指导下，他逐渐构建了这一问题的新认知模型。

米查拉基斯和黑斯廷斯以一种新颖的方式将整个画面与局部画面连接起来。他们更精细地理解了问题的拓扑结构，并成功地去除了这些假设。

为了说明他们的方法，让我们想象一下，当我们快速远离地球时，我们将会看到什么:我们将会看到一个没有山脉和山谷的球体，这可能会让你误以为你可以毫无障碍地环游地球。但是当你回到地球，你意识到这是不可能的——你必须穿越高山和峡谷。

他们正在使用一种被称为“准绝热演化”的改进工具，与它的前身不同，它是拓扑的。这使他们能够看到量子海的整体能量景观，并消除所有的峰和谷，因为拓扑不会受到这些细节的影响。

从数学意义上来说，米恰拉基斯和黑斯廷斯的解决方案所做的是确定一条开阔平坦的路径，在这条路径上你不会遇到任何山谷或山峰，这与你远离地球时感知到的幻觉本质上是一致的。

解决了！

当然，米查拉基斯和黑斯廷斯的实际证明要比这复杂得多；他们使用40页的数学推理来编写原始证明，但经过艰苦的编辑过程，最终数量减少到30页。

他们在2009年提交了解决方案，但专家们花了很长时间来消化这个结果。

但当他们试图发表一篇关于它的正式文章时，评论者无法理解。

以色列海法理工学院的物理学家约瑟夫·阿夫龙(Joseph Avron)说，“黑斯廷斯和米恰拉基斯的论文技术性太强，我无法从所有步骤判断整体证明的真假。”

Avron 是 1999 年最初提议将这个问题添加到普林斯顿网站的人之一，因此他有权宣布它是否已被解决。

黑斯廷斯和米查拉基斯在2013年最后一次梳理了这个证明，让它尽可能的简洁优雅。

但改进后的论文并没有得到包括Avron在内的审稿人的认可。

他叫来了那两个人，但他还是看不懂证明中的数学。

“当我提问时，我以为他们误解了我的问题，我也误解了他们的答案。”阿夫龙说。两年多来，他不仅多次与这两人交谈，还多次重读论文，参加他们的讲座。

最后，Avron通过综合他自己和其他专家对证明不同部分的理解，最终批准了这篇论文。

2015年，这一证明正式发表在《数学物理通讯》上。

不久之后，其他研究人员用Avron可以理解的数学语言发表了补充论文。

问题发布19年后，在Michalakis和Hastings完成证明10年后，Avron终于将问题标记为“已解决！”

然而，并不是每个人都认为这个问题已经解决了。

佐治亚理工学院的物理学家让·贝利萨尔(Jean Bellissard)说，“他们证明了量子霍尔效应的拓扑结构，但没有证明电导是阶跃变化且存在平台。”

虽然Michalakis反驳了这一点，但Bellissard也承认他们的工作是一个突破，是最终解决方案的重要组成部分。

无论如何，这个证明有助于实现量子霍尔效应的实际应用。黑斯廷斯现在在微软位于加州的量子计算实验室“Q站”工作。他正试图建造一台全新的量子计算机。

既然他们已经解决了这个难题，他们有机会获得菲尔兹奖吗？

可惜我不能。

不是因为没达到那个高度，而是因为错过了年龄...

因为这个数学最高奖每四年颁给四位40岁以下的数学家。

米查拉基斯29岁，黑斯廷斯36岁。由于科学界花了近十年时间才接受他们的证明，这意味着到2022年下一届菲尔兹奖评选时，他们两人都将超龄...

然而，这并没有困扰米查拉基斯，他现在将研究与科学交流结合起来，比如成为电影《蚁人》的科学顾问。

“我已经不在乎获奖了。对我来说，解决问题的真正乐趣在于与下一代分享。”