傅立叶定律(傅立叶定律的物理意义)

本文将提到傅立叶变换，以下简称FT。

网上有很多关于FT的文章，还有动画，一系列首尾相连的棒子，荡来荡去。看起来很疯狂很酷，但是有彩蛋，看完觉得FT很牛逼，但是还是不懂FT。一个好的函数怎么可能是一系列正弦波？什么时域频域？听起来很高大上。

从最基本的三角级数出发，阐述了傅立叶变换的数学本质。内容很硬核。如果你只是想随便看看，搜一下FT的视频，看到小棍了。

0，FT为什么这么难懂？

FT微积分中，最后一章的最后一节本身并不长，概念、定理、推导过程都不多，只有一个开头。之后，FT出现在信号和系统中。然而，在信号系统中，强调了傅立叶变换的应用。FT的出口不是它的重点。所以就FT学习而言，是脱节的。微积分中没有提到FT的应用，导致FT的意义没有很好的实现。信号系统中FT的推导不够严谨，导致知其所以然。但是FT的思想和微积分教材本身并没有明确。所以，这就导致了FT是每个工科生的噩梦，睡得云里雾里，醒得云里雾里。

我们在学习FT的时候，一定要相应的看各科教材。只看一本书是不够全面的，你自然无法理解FT的含义。

首先:

FT推导在于微积分，因为用到了定积分的概念，这是形而下。FT理解于线性代数，它的数学本质是线性空间的变换，这是形而上。FT应用于信号系统，这是形而下中下。

知道了这三点，就有了学习FT的方法。

其次，学习FT，一定要学习它的基础。打牢基础。FT的基础是傅立叶级数，傅立叶级数的基础是三角级数。所以，至少我学FT，一半以上的精力都花在三角级数上。了解三角级数的来龙去脉，FT是理所当然的。

1系列

在讲三角级数之前，我们先来复习一下级数。串联是好事，它能把坏事变成好事。例如，幂级数在求解方程中有非常好的用途，无论是超越方程还是微分方程。电路，整流电路用泰勒级数求解。

系列是一个非常反直觉的概念。举几个例子。首先，大家都很熟悉。

0.....= 1

另一个有条件收敛的常数项级数，变化项，可能导致级数不收敛或收敛到其他值。简单来说，条件收敛的级数不符合加法交换律。乍一看，太神奇了！加法交换律，从小学开始学的，失败了！

在微积分中，级数仍然是一个非常重要的概念和理论。可以证明很多教科书前面埋的坑。比如如何判断隐函数是否有函数，如何判断微分方程是否有解甚至唯一解。

从形式上讲，级数是无穷多个正则项的和。所以，我们可以用任何组合，只要是有规律的，来代替数字或函数。剩下的两个问题是:

是否收敛于常数或者函数，（废话，不收敛的要来干啥）收敛速度，（当然越快越好）。

1.有福的是工程，可以忽略，有狄利克雷收敛条件保证。万一不满意，没关系。有一个广义的FT。

2，FT不涉及。

2三角级数

函数为什么要转换成三角级数？这恐怕是第一个问题。暂时按下它。我们需要解决的是，如果表示为一系列三角函数，形式是什么？

我首先想到的是:

很自然，但也很不好。因为它不是正交的。非正交性的问题是很难找到系数。所以变成:

这个形式很好，正交！求系数是很容易的。

什么是正交，为什么正交是我们的追求？参见下面的推导过程。

随之而来的第二个问题是，x是一组实数，有正值也有负值。为什么到了三角函数的n，课本上只取正整数？为什么不要阴性？

原因很简单，还是正交。假设我们取一个负数，有

可见除了把系数复杂化，没有任何好处！

3三角级数的数学意义

这是形而上的，需要把握。

从线性代数的角度来看，三角级数的本质是空之间的变换，将x空之间的原函数映射为空之间的三角函数。但不同于普通意义上的线性代数，这里变换的是函数，而不是一般的实数。

这是学习FT最重要的一点。FT的数学意义必须从线性代数的角度来理解。但是微积分是有学科限制的，教科书上往往没有指出。至于信号与系统，根本不是数学书。但由于线性代数的教材本身不涉及微积分，一般不会讲FT。

顶部有加粗的文字！再给我一张照片。

这是一个线性变换，从左边的f(x)到右边的a0，a(n)，b(n)。而三个变换积分是线性代数中的“矩阵”！好吧。

这里会非常发散！！！

我们从初中接受的教育，y=f(x)，意思是y是x的函数，也就是映射。这是学习FT的一个非常大的障碍。总觉得FT很不自然。一个函数可以是一系列正弦函数的和吗？！很奇怪。这种想法的根本问题在于，你还是从初等数学的角度，或者说从经典微积分的角度来看待函数的概念。函数是x到y的映射。

如果你站在伽利略变换的角度，你永远无法理解狭义相对论。你永远无法从均匀性空的角度理解广义相对论，同样的。

抛弃函数的概念！要练魔术，就从宫里挥刀！一切都是一个系列！一切都是无限和！

在级数眼里，一切都是一系列正则表达式的和，无穷和！我们借用信号系统中脉冲函数的概念。

明白了吗？即使在传统意义上，函数仍然可以看作是一系列正则表达式的总和。这里是一系列脉冲函数的和，但是每个脉冲函数都是调制的！从线性代数的角度来说，冲激函数是底数，而且标准简单，是正的！交上来！Ki！

然后三角级数，就是本来你用这组脉冲函数做线性组合，现在我用这组三角函数做线性组合，不行吗？当然是从线性代数的角度！而且是那么自然！

所以，学习FT，首先要打破我们在中学学了6年的这个函数的观念。Y=f(x)，不要把它当成一个表达式。充分理解了这一点。那么下一个问题是:

既然x能描述y，那肯定不止x能描述y，找别的表达就行了。

这就是线性代数的思想——空之间的转换！就是再找一组正交基！这里因为三角函数系的正交性，自然是我们选择的！

稍微总结一下，体验一下，然后继续下面的推导过程！

简而言之，在级数的宇宙学中，没有映射这种东西。一切都是无限和。用线性代数的概念，一切都是一组无穷维正交基的线性组合。完全理解这个观点，直到你对它满意为止

0.....= 1

有了新的认识。

4三角级数的求导

然后就是物理问题，怎么求系数。

从线性代数的角度来说，就是求解一个非常“密集”的线性方程组。

码字太烦，直接上图。

以上是傅里叶级数的三角级数形式。

5傅立叶级数的复数形式

教材中，包括《信号系统》教材，复形式的傅立叶级数是由三角级数通过欧拉公式推导出来的。这种方法很不好！

如果你完全理解上面的过程。应该有一个问题:还有其他系列吗？或者从线性代数的角度，有没有其他空？或者还有其他正交基吗？舔狗，即使不正交。答案是肯定的，女神不只是三角函数！指数函数也可以形成正交基。

这里的一个小问题是，指数函数为什么会有负的部分？原因在于正交性！

在三角函数中，负的部分对三角函数来说是多余的，导致非正交基，所以我们舍弃负的部分。然而，在指数函数中，如果要形成正交性，就必须引入负部分。

接下来可以用三角级数的过程和定积分的思想来推导复级数。这里有一点。

用这个思路去理解所谓的“傅里叶级数的复数形式”！或者抛弃“傅立叶级数”和“傅立叶级数的复数形式”这些术语。专注于“三角级数”和“复指数级数”这两个术语可能更能说明问题。

欧拉公式被视为偶遇，就像指数函数是三角函数的复数形式一样。我们假装发现了新的正交基(复指数)，骄傲地推导出来。

6傅立叶变换

在微积分中，对傅里叶变换的描述很少，甚至题目是傅里叶积分。直接上图

了解三角级数和指数级数的由来。FT是很自然的事情。就是考察另一个空里的函数！而“那个”空在信号系统的课程里叫频域，原空叫时域。而在数学中，只有空，时域和频域没有区别。

7结语

FT不好学，因为学好它需要的知识分散在不同的课本里。需要整合！

线性代数顶上，拿着定积分的求导工具，看不起傅里叶变换，看不起时域频域！在我眼里，只有线性空，只有正交基，只有线性组合。

知道了这些，就不难理解傅立叶变换了。至于首尾抛出的一串小棍，看看就知道了。

还有其他正交基吗？没有微积分，这次真的没有微积分。。。

还有拉普拉斯变换，简单，把收敛变成收敛！只有一个目标。之前用的指数函数，指数是纯虚函数，一直在振荡。拉普拉斯使用完全复数作为索引，这样就有一个强收敛的包络。

既然看到这里了，那就来说一个学习FT的小技巧，掌握一个绘图工具，MATLAB或者Python(带matplotlib库)。事半功倍！