罗尔中值定理(罗尔中值定理典型例题)

今天我们来复习一下高数中的微分中值定理，据说是很多高数公式的基础。这一点我没有很深的理解，因为我只是一知半解。然而，提出中值定理的几位数学家是众所周知的。前段时间他们做了一个空的研究，觉得很有意思，没有想象中的那么无聊。所以今天的文章就和大家聊聊这个话题。我会跳过一些不相关或者无关紧要的证明部分，尽量简单有趣。

费马引理

首先是费马引理，这是我们后面介绍罗尔中值定理的前提。这个费马引理非常简单，不需要太多空间。所以在介绍之前，先说一下费马。

费马在数学上很有名，他最著名的理论是费马大小定理。定理的内容我就不说了，与本文无关。但背后有一个著名的故事，说的是费马提出费马大定理的时候觉得并不高明，所以没有详细证明。有一天，他在看笔记本的时候，突然受到generate的启发，想出了一个奇妙的证明方法。但是因为笔记本空旁边的白色区域太小，费马在页面边缘写了一句话。他说:

我找到了一个很好的方法来证明这一点。可惜这里空之间的空间太小，写不下来。

没想到费马不经意定理在以后的数学中非常重要。令人惊讶的是，无数数学家试图证明费马大定理的正确性，但都失败了。虽然这个定理应用广泛，大家都认为应该是正确的，但是没人能证明。这曾被称为数学中的顶级问题。直到1995年，都说是计算机提供了计算能力的支撑，终于被证明了。

关于费马在书页边缘书写的绝妙解决方案，数学界也有争论。有人感叹这是数学界的一大损失。还有人觉得不靠谱。可能不是灵感，是错觉。但无论如何，这也成就了费马。也许他不是历史上数学最强的人，但一定是最成功的一个。

让我们来看看来自费马的凝视。

不管怎样，我们来看看费马引理。费马引理很简单，就是如果一条曲线上有一个点x0，那么在

有f (x) : = f(x0))，则表示f & # 39(x0)=0 .

熟悉衍生品的同学会发现，这其实是在倒着说事情。导数为0的点是极值点。既然是极值点，很明显附近的点不是比它大就是比它小。我们来看看下图就明白了。

证明的过程很简单。我们让δx→0，所以很明显

我们可以利用极限的左右边界相等来证明它的正确性。

罗尔中值定理

罗尔中值定理是费马引理的推广。我们来看上图，A和B的函数值相等。所以罗尔中值定理是，如果一个函数满足:

在闭区间[a, b]上连续f(a) = f(b)在开区间(a, b)上可导

那么，区间(a，b)中一定有一个点x0，这样f & # 39(x0) = 0 .

这个中值定理也很好理解。由于函数值在两个端点相等，无论是先减后增还是先减还是不增不减，显然都会有至少一个极值点。既然有极值点，那么根据费马引理显然会有导数为0的点。

拉格朗日中值定理

罗尔定理简单易懂，但是有个小问题，就是限制条件太死，不一定能找到函数上两点相等。为了解决这个问题，大人物拉格朗日扩展了这个公式。

他说只要函数f(x)满足:

在闭区间[a, b]连续在开区间(a, b)可导

然后你可以找到一个点ξ，使得:

这个公式看起来很可怕。让我们做一个变化:

F(b)-f(a)/(b-a)这个我们都很熟悉，就是两点A和b连线的斜率.而f & # 39(ξ)是函数在ξ处的正切。从几何的角度来看，它表明一个点的切线平行于端点的连线。我们可以参考下图。

从定理的角度来说，如果A点和B点的函数值相等，这个公式就和罗尔定理一模一样，也就是说，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。我们在证明罗尔定理的时候用了费马引理，那么在证明拉格朗日中值定理的时候可以用罗尔定理吗？

如果能用就很棒，但是不能直接用。我们不能保证函数在A和b两点上的值相等，要解决这个问题，我们需要引入一个辅助函数，这和我们做几何题时引入辅助线很像。说实话，我对这个辅助功能是怎么来的一无所知，书本上也没有记载。我们可以肯定的是，它是有效的，它是正确的，但它是如何产生的，我们不知道，可能是数学家的灵感或天赋。

以前我在学习奥数的时候经常遇到这种情况。一个看起来极其复杂的公式，数学天才稍微变形或者引入一个辅助函数或者定理，用三下五除二就解决了。这个过程的每一步我都能理解，只是不明白他是怎么想出来的。这个辅助功能很典型。

事不宜迟，让我们来看看这个函数: