开方公式(开方化简公式)

方程在数学中有很高的地位。我们常见的有一次、二次、三次方程等等，也可以通过求根公式来求解一些方程的根。本文主要研究一般的n次一元复系数方程，即满足下图的方程:

那么根据高斯定理，满足上述公式的n次系数方程只有n个根。注:根据伽罗瓦群论，没有求五次和五次方程根的公式，即方程的根不能写成代数数的形式。但不代表这类方程无解，超越函数(如三角函数、对数函数等。)仍然可以用来表示方程的解。但是有些时候我们解一些方程太复杂了，在有约束的情况下不需要完全解。而且，如果有超越数(如圆周率，自然常数E等。)，求解过程会稍有难度。因此，人们想另辟蹊径，寻找其他高效的方法来解方程。这期间出现了大量的解决方案，比如二分法，不动点迭代等等。本文主要介绍另一种优化的不动点迭代法——牛顿迭代法。

牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊迭代法，不仅适用于求解方程或方程组，也常用于求解微分方程和积分方程，可见其重要性。该方法的基本原理如下:

设f(x) ∈ c [m，n]，并将f(x)在x ∈ [m，n]的域中进行泰勒展开，得到如下结果:

通过去除二次项得到f(x)的线性近似值:

这也是关于点x的切线方程，由此获得方程f(x) = 0的近似解:

可以得到关于x的迭代格式:

这里给出牛顿法的几何意义:牛顿迭代法又叫牛顿切线法，因f(x)的线性逼近函数是曲线Y = f (x)的点(x，f(x))的切线而得名。零点替换为f (x)的近似方程得到的零点，即切线T与X轴交点的横坐标，实根值为X*。牛顿迭代法本质上是。

那么牛顿迭代法收敛吗？或者对于任意初始值X，这个迭代的结果能收敛到X*吗？收敛将通过代数分析来说明:

将牛顿迭代公式写成如下形式，可以得到不动点迭代形式:

这样就可以应用不动点迭代的收敛原理，只要证明根β附近的迭代函数是压缩映射就可以证明收敛。因为

这里的根β是单根，即f( β) = 0，f & # 39(β) ≠ 0，所以:

由于γ (x)的连续性，可以知道存在一个定义域(β-δ，β+δ)，对于这个定义域中的任意一个X都存在|γ& # 39；(x)& lt；Q |，其中0 < Q < 1，所以γ (x)是区间(β-δ，β+δ)上的压缩像，所以我们可以得到如下结论:

可以看出，牛顿迭代法具有很强的局部收敛性，因此只有当初始值足够接近时，才能保证迭代序列的收敛性。为了放松对局部收敛的限制，需要增加充分的条件使序列收敛，

该公式可以转换为以下几种情况:

①保证零点的存在；②函数的单调性是有保证的，在区间[a，b]内存在唯一的零点。③保证函数的凹凸性不会改变，④、③保证每次迭代产生的值在区间[a，b]内；反映在图像上如下:

如果选取的初始值不满足上述条件，迭代次数会越来越多，甚至会出现无休止的循环，如下图所示:

介绍了牛顿法的性质和原理之后，我们可以用它来做什么呢？也就是可以用来解方程。给定一个正数A，建立以下关系:

那么f(x) = 0的正解就是它的算术平方根。那么牛顿迭代公式可以用来获得:

当x > 0时，f & # 39(x) = 2x > 0，f & # 39'(x) = 2 > 0，那么从收敛定理来看，对于任意条件x >:初始逼近√ a，备择公式生成的序列必然收敛到√a。

让我们使用程序(TypeScript)来执行平方根运算:

其他的平方根的n次方运算和上面类似，牛顿法在数学分析中应用广泛，这里就不一一介绍了。其他喜欢数学和程序的朋友可以留言关注，然后我来讲解。朋友们，我是童话大王。再见~ ~ ~