函数奇偶性的判断口诀(复合函数奇偶性结论)

高等数学函数的重点和难点分析

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，则f(x)= f(-x)；

(2)若f(x)为奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于计算参数)；

(3)判断函数的奇偶性可以用等价形式定义:f (x) f (-x) = 0或(f(x)≠0)；

(4)若给定函数的解析式复杂，应先简化，再判断其奇偶性；

(5)奇函数在对称单调区间上具有相同的单调性；偶数函数在对称单调区间上具有相反的单调性；

2.与复合函数相关的问题。

(1)求解复合函数的定义域:若已知定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可用不等式a≤g(x)≤b求解；若已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]，求g(x)的值域(即f(x)的定义域)；学习函数时，一定要注意定义域优先原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”决定；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；

(2)证明图像C1和C2的对称性，即证明C1上任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；

(3)曲线C1: f (x，y) = 0，y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a，x+a)=0(或f(-y+a，-x+a)= 0)；

(4)曲线C1:f(x，y)=0对称曲线C2关于点(a，b)的方程为:f(2a-x，2 b-y)= 0；

(5)若函数y=f(x)等于x∈R，f(a+x)=f(a-x)为常数，则像y=f(x)关于直线x=a对称；

(6)函数y=f(x-a)和y=f(b-x)的像关于直线x=对称；

4.函数的周期性

(1)当y = f (x)对x∈R，f(x +a)=f(x-a)或f (x-2a) = f (x) (a >: 0)为常数时，则y=f(x)为周期为2a的周期函数；

(2)若y=f(x)为偶函数，其像关于直线x=a对称，则f(x)为周期为2︱a︱的周期函数；

(3)若y=f(x)奇函数，其像关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；

(4)若y=f(x)关于点(a，0)和(b，0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；

(5)y=f(x)的像关于直线x = a和x = b对称(a ≠ b)，则函数y = f(x)是周期为2的周期函数；

(6)当y=f(x) vs x∈R，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数；

5.方程k=f(x)有解k∈D(D是f(x)的值域)；

6.a≥f(x)是常数且a≥[f(x)]max，；A≤f(x)为常数，a ≤[ f(x)]min；

7.(1)(a & gt；0，a≠1，b & gt0，n∈R+)；(2)log a N =(a & gt；0，a≠1，b & gt0，b≠1)；

(3)用“同正异负”的公式记忆L og A B的符号；(4)对数a N = N(a & gt；0，a≠1，N & gt0 );

8.在判断对应关系是否为映射时，要把握两点:(1)A中的所有元素必须相似且唯一；(2)B中的所有元素不一定都有原像，A中的不同元素在B中可以有相同的像；

9.熟练运用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，要把握以下结论:域上单调函数必有反函数；(2)奇函数的反函数也是奇函数；(3)定义域不是单元素集的偶函数不存在反函数；(4)周期函数没有反函数；(5)作为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)和y=f-1(x)互为反函数。设f(x)的定义域为A，取值范围为B，则有f [f-1 (x)] = x (x ∈ b)，f-1 [f (x

11.处理二次函数时不要忘记数形结合；二次函数在闭区间内必有最大值，求最大值问题用“两看”:看开口方向；第二，看对称轴与给定区间的相对位置关系；

12.根据单调性，利用区间内线性函数的保号性质，可以解决一类参数的取值范围问题；

13.常数建立问题的处理方法:(1)分离参数法；(2)分布表不等式(组)化为一元二次方程根的解法；

课程整合后:

1.已知函数f (x) = ax2+bx+c (a ≠ 0)是偶数，那么g (x) = ax3+bx2+CX的奇偶性是_ _ _ _ _ _。

2.已知xy < 0，且4x2-9y2 = 36。由此可以确定一个函数关系y = f (x)吗？如果是，找出它的解析式、定义域、值域；如果没有，请说明原因。